Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a₂=3，S_n+1=4S_n-3S_n-1（n≥2，n∈N₊），等差數(shù)列{b_n}滿足b₃=3，b₅=9．
（1）分別求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若對任意的n∈N₊，（S_n+

1

2

）•k≥b_n恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,函數(shù)恒成立問題,數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用已知條件轉(zhuǎn)化數(shù)列為等比數(shù)列，即可求解數(shù)列{a_n}的通項公式，利用等差數(shù)列的性質(zhì)直接求解通項公式即可．
（2）利用等比數(shù)列的和求出S_n，轉(zhuǎn)化不等式為k的一側(cè)的不等式，得到k≥

2(3n-6)

3n

，求出右側(cè)的最大值即可得到k的取值范圍．

解答： 解：（1）由S_n+1=4S_n-3S_n-1，得S_n+1-S_n=3（S_n-S_n-1），
即a_n+1=3a_n（n≥2）．
又a₂=3=3a₁，所以a_n+1=3a_n（n∈N₊），所以a_n=3^n-1．
因?yàn)閎₅-b₃=2d=6，所以d=3，所以b_n=3+（n-3）×3=3n-6.6分
（2）S_n=

1-3n

1-3

=

3n-1

2

，
所以原不等式可轉(zhuǎn)化為（

3n-1

2

+

1

2

）k≥3n-6對n∈N₊恒成立，
所以k≥

2(3n-6)

3n

對n∈N₊恒成立．
令c_n=

2(3n-6)

3n

，c_n-c_n-1=

2(3n-6)

3n

-

2(3n-9)

3n-1

=

-12n+42

3n

（n≥2）．
當(dāng)n≤3時，c_n＞c_n-1；當(dāng)n≥4時，c_n＜c_n-1．
所以（c_n）_max=c₃=

2

9

，所以k≥

2

9

.12分．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和以及數(shù)列與不等式的應(yīng)用，數(shù)列的函數(shù)的特征，考查分析問題解決問題的能力．