Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=2a_n-1-3n+6（n≥2，n∈N₊）．
（1）設(shè)b_n=a_n-3n，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用已知條件轉(zhuǎn)化為：b_n=2b_n-1，即可證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（2）利用（1）的結(jié)果求出數(shù)列的通項公式，然后求解數(shù)列的通項公式即可．

解答： 解：（1）因為b_n=a_n-3n，所以a_n=b_n+3n．
又a_n=2a_n-1-3n+6，所以b_n+3n=2[b_n-1+3（n-1）]-3n+6，
即b_n=2b_n-1（n≥2，n∈N₊），
所以數(shù)列{b_n}是以b₁=a₁-3=-2為首項，2為公比的等比數(shù)列.6分
（2）由（1）得b_n=（-2）•2^n-1，
所以a_n=b_n+3n=（-2）•2^n-1+3n．
故數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=3n-2ⁿ.12分．

點評：本題考查遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列的通項公式的求法，等比數(shù)列的判斷，考查計算能力．