Question

17．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=a（a為常數(shù)），其前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=$\frac{n（{a}_{n}+{a}_{3}-2）}{2}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若S_n≥S₁₀對(duì)一切n∈N^*都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）在已知數(shù)列遞推式中取n=1，得a₃-a₁=2，以n-1替換n，與原遞推式聯(lián)立可得2a_n=a_n+1+a_n-1，進(jìn)一步說(shuō)明數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a，公差為1的等差數(shù)列．則通項(xiàng)公式可求；
（2）求出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，配方后結(jié)合S_n≥S₁₀對(duì)一切n∈N^*都成立，得到關(guān)于a的不等式，求解不等式得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由S_n=$\frac{n（{a}_{n}+{a}_{3}-2）}{2}$，①令n=1，得2a₁=a₁+a₃-2，則a₃-a₁=2，
又${S}_{n-1}=\frac{（n-1）（{a}_{n-1}+{a}_{3}-2）}{2}$，②
①-②得：${a}_{n}=\frac{n（{a}_{n}+{a}_{3}-2）}{2}-\frac{（n-1）（{a}_{n-1}+{a}_{3}-2）}{2}$，
得（n-2）a_n=（n-1）a_n-1-a₃+2，③
則（n-1）a_n+1=na_n-a₃+2，④
④-③得：（n-1）a_n+1-（n-2）a_n=na_n-（n-1）a_n-1，
∵n≥2，∴有2a_n=a_n+1+a_n-1，⑤
由a₃-a₁=2和⑤知：數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a，公差為1的等差數(shù)列．
∴a_n=a+（n-1）•1=n+a-1；
（2）${S}_{n}=\frac{n（a+n+a-1）}{2}=\frac{1}{2}[（n-\frac{1-2a}{2}）^{2}-\frac{（1-2a）^{2}}{4}]$．
∵S_n≥S₁₀對(duì)一切n∈N^*都成立，∴$9.5≤\frac{1-2a}{2}≤10.5$，
解得a∈[-10，-9]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，訓(xùn)練了恒成立問題的求解方法，是中檔題．