Question

4．橢圓$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左焦點為F，直線x=a與橢圓相交于點M、N，當△FMN的周長最大時，△FMN的面積是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{6\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{8\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{4\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 設右焦點為F′，連接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得當直線x=a過右焦點時，△FMN的周長最大．c=$\sqrt{5-4}$=1．把c=1代入橢圓標準方程可得：$\frac{1}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，解得y，即可得出此時△FMN的面積S．

解答 解：設右焦點為F′，連接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，
∴當直線x=a過右焦點時，△FMN的周長最大．
由橢圓的定義可得：△FMN的周長的最大值=4a=4$\sqrt{5}$．
c=$\sqrt{5-4}$=1．
把c=1代入橢圓標準方程可得：$\frac{1}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，解得y=±$\frac{4}{\sqrt{5}}$．
∴此時△FMN的面積S=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{4}{\sqrt{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
故選：C．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質(zhì)、三角形的三邊大小關系與三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．