Question

在△ABC中，若

AB

=

a

，

AC

=

b‘

（1）若D為BC上的點(diǎn)，且

BD

=t

BC

，求證：

AD

=（1-t）

a

+t

b

；
（2）若P，Q是線段BC的三等分點(diǎn)，試證：

AP

+

AQ

=

a

+

b

；
（3）若P，Q，S是線段BC的四等分點(diǎn)，試證：

AP

+

AQ

+

AS

=

3

2

(

a

+

b

)
（4）如果A₁，A₂，A₃，…A_n-1是線段BC的n（n≥3）等分點(diǎn)，你能得到什么結(jié)論？并加以證明．（注：1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

）

Answer 1

考點(diǎn)：線段的定比分點(diǎn),平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）畫出圖形，結(jié)合圖形，根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則，得出

AD

的向量表示；
（2）當(dāng)P，Q是線段BC的三等分點(diǎn)時(shí)，利用平行四邊形法則，得出

AP

+

AQ

=

AB

+

AC

=

a

+

b

；
（3）當(dāng)P，Q，S是線段BC的四等分點(diǎn)時(shí)，根據(jù)向量的合成法則，得出

AB

+

AC

=

AP

+

AS

=2

AQ

，從而得出結(jié)論；
（4）當(dāng)A₁，A₂，A₃，…A_n-1是線段BC的n（n≥3）等分點(diǎn)時(shí)，得出

AA1

+

AA2

+

AA3

+…+

AAn-1

=

n-1

2

（

a

+

b

）；
結(jié)合圖形，利用向量的加減運(yùn)算，證明即可．

解答： 解：（1）△ABC中，

AB

=

a

，

AC

=

b‘

，D為BC上的點(diǎn)，且

BD

=t

BC

，
如圖1所示：

∴

AD

=

AB

+

BD

=

AB

+t

BC

=

AB

+t（

AC

-

AB

）=（1-t）

AB

+t

AC

=（1-t）

a

+t

b

；
（2）當(dāng)P，Q是線段BC的三等分點(diǎn)時(shí)，以AB、AC為鄰邊作平行四邊形ABDC，連接AD，交BC于O點(diǎn)，
連接PD，QD，如圖2所示：

則

AB

+

AC

=

AD

，
∵OB=OC，BP=CQ=

1

3

BC，
∴OP=OQ，且OA=OD，
∴四邊形ABDC是平行四邊形，
∴

AP

+

AQ

=

AD

=

AB

+

AC

=

a

+

b

；
（3）當(dāng)P，Q，S是線段BC的四等分點(diǎn)時(shí)，如圖3所示：

則Q是BC的中點(diǎn)，

AB

+

AC

=

AP

+

AS

=2

AQ

∴

AP

+

AQ

+

AS

=

3

2

（

AB

+

AC

）=

3

2

（

a

+

b

）
（4）當(dāng)A₁，A₂，A₃，…A_n-1是線段BC的n（n≥3）等分點(diǎn)時(shí)，

AA1

+

AA2

+

AA3

+…+

AAn-1

=

n-1

2

（

a

+

b

）；如圖所示：
：
證明如下，∵

AA1

=

BA1

-

BA

=

AB

-

A1B

=

AB

-

1

n

CB

，

AA2

=

AB

-

A2B

=

AB

-

2

n

CB

，…，
同理

AAn-1

=

AB

-

n-1

n

CB

，
∴

AA1

+

AA2

+…+

AAn-1

=（n-1）

AB

-（

1

n

+

2

n

+..+

n-1

n

）

CB

=（n-1）

AB

-

n(n-1)

2

•

1

n

CB

=（n-1）

AB

-

n-1

2

（

AB

-

AC

）
=

n-1

2

（

AB

+

AC

）
=

n-1

2

（

a

+

b

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的加減運(yùn)算的幾何意義，也考查了類比推理的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．