Question

一個半徑為1的小球在一個內壁棱長為的正四面體封閉容器內可向各個方向自由運動，則該小球表面永遠不可能接觸到的容器內壁的面積是 ．

 

Answer 1

【解析】

試題分析：如圖甲，考慮小球擠在一個角時的情況，記小球半徑為，作平面//平面，與小球相切于點，則小球球心為正四面體的中心，，垂足為的中心．

因，

故，從而．

記此時小球與面的切點為，連接，則

．

考慮小球與正四面體的一個面(不妨取為)相切時的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點的軌跡仍為正三角形，記為，如圖乙．記正四面體的棱長為，過作于．

因，有，故小三角形的邊長．

小球與面不能接觸到的部分的面積為（如答圖2中陰影部分）

．　　　　　　　　　

又，，所以．

由對稱性，且正四面體共4個面，所以小球不能接觸到的容器內壁的面積共為．

考點：(1)三棱錐的體積公式；（2）分情況討論及割補思想的應用。