Question

20．設a為實數(shù)，且函數(shù)f（x）=（a+cosx）（a-sinx）-1有零點，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• B． [-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• C． [1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）
• D． [-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]∪[1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]

Answer 1

分析 結(jié)合選項，對選項中的a=0和a=1進行排除驗證，從而確定D是正確的．

解答 解：當a=0時，f（x）=-1-sinxcosx=-1-$\frac{1}{2}$sin2x=0
得sin2x=-2（舍）所以a=0不成立，排除B
當a=1時f（x）=cosx-sinx-sinxcosx
令t=cosx-sinx=$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]
t²=1-2sinxcosx，sinxcosx=$\frac{1{-t}^{2}}{2}$
所以g（t）=t-$\frac{1{-t}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$t²+t-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（t+1）²-1   t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]
由圖象知g（t）在[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]上有零點
所以a=1成立排除A，C．
故選D

點評 本題考查了函數(shù)的零點問題，直接討論非常復雜，可以運用小題小做的方法解決選擇題．