Question

10．如圖，等腰直角三角形ABE與正方形ABCD所在的平面互相垂直，AE⊥BE，AB=2，F(xiàn)C⊥平面ABCD，且FC=1．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面BCF；
（Ⅱ）求證：EF∥平面ABCD；
（Ⅲ）求點(diǎn)C到平面BDF的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明AB⊥平面BCF；
（Ⅱ）根據(jù)線面平行的判定定理證明EF∥GC，即可證明EF∥平面ABCD；
（Ⅲ）根據(jù)點(diǎn)到平面的距離進(jìn)行求解即可求點(diǎn)C到平面BDF的距離．

解答 證明：（Ⅰ）∵FC⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴FC⊥AB，
∵ABCD是正方形，
∴AB⊥BC，
∵BC∩CF=C，
∴AB⊥平面BCF；
（Ⅱ）取AB的中點(diǎn)G，連接EG，GC，
∵等腰直角三角形ABE與正方形ABCD所在的平面互相垂直，
∴EG⊥AE，EG⊥平面ABCD，
∵FC⊥平面ABCD，
∴EG∥FC，
∵AB=2，F(xiàn)C=1，
∴EG=$\frac{1}{2}$AB=1，
即EG=FC，
則四邊形CGEF是矩形，
∴EF∥GC，
∵EF?平面ABCD，GC?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD；
解：（Ⅲ）連接AC交BD于O，
則BD⊥平面COF，連接OF，
過C作CH⊥OF與H，
則CH⊥平面COF，
即CH是點(diǎn)C到平面BDF的距離．
∵AB=2，∴AC=2$\sqrt{2}$，OC=$\sqrt{2}$，
則OF=$\sqrt{O{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{1+2}$=$\sqrt{3}$，
則由三角形OCF的面積S=$\frac{1}{2}$OC•CF=$\frac{1}{2}$OF•CH，
得CH=$\frac{OC•CF}{OF}$=$\frac{\sqrt{2}×1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
即點(diǎn)C到平面BDF的距離是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間直線和平面平行和垂直的判定以及點(diǎn)到平面的距離的計(jì)算，利用相應(yīng)的判定定理以及點(diǎn)到平面的距離的定義是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．