Question

10．如圖，等腰直角三角形ABE與正方形ABCD所在的平面互相垂直，AE⊥BE，AB=2，F(xiàn)C⊥平面ABCD，且FC=1．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面BCF；
（Ⅱ）求證：EF∥平面ABCD；
（Ⅲ）求點C到平面BDF的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明AB⊥平面BCF；
（Ⅱ）根據(jù)線面平行的判定定理證明EF∥GC，即可證明EF∥平面ABCD；
（Ⅲ）根據(jù)點到平面的距離進行求解即可求點C到平面BDF的距離．

解答 證明：（Ⅰ）∵FC⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴FC⊥AB，
∵ABCD是正方形，
∴AB⊥BC，
∵BC∩CF=C，
∴AB⊥平面BCF；
（Ⅱ）取AB的中點G，連接EG，GC，
∵等腰直角三角形ABE與正方形ABCD所在的平面互相垂直，
∴EG⊥AE，EG⊥平面ABCD，
∵FC⊥平面ABCD，
∴EG∥FC，
∵AB=2，F(xiàn)C=1，
∴EG=$\frac{1}{2}$AB=1，
即EG=FC，
則四邊形CGEF是矩形，
∴EF∥GC，
∵EF?平面ABCD，GC?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD；
解：（Ⅲ）連接AC交BD于O，
則BD⊥平面COF，連接OF，
過C作CH⊥OF與H，
則CH⊥平面COF，
即CH是點C到平面BDF的距離．
∵AB=2，∴AC=2$\sqrt{2}$，OC=$\sqrt{2}$，
則OF=$\sqrt{O{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{1+2}$=$\sqrt{3}$，
則由三角形OCF的面積S=$\frac{1}{2}$OC•CF=$\frac{1}{2}$OF•CH，
得CH=$\frac{OC•CF}{OF}$=$\frac{\sqrt{2}×1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
即點C到平面BDF的距離是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題主要考查空間直線和平面平行和垂直的判定以及點到平面的距離的計算，利用相應的判定定理以及點到平面的距離的定義是解決本題的關鍵．考查學生的運算和推理能力．