Question

11．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos（θ-$\frac{π}{3}$）
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P（x，y）是直線l上位于圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），求$\sqrt{3}$x+y的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （I）圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos（θ-$\frac{π}{3}$），展開(kāi)可得：ρ²=4$（\frac{1}{2}ρcosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ）$，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐標(biāo)方程．
（II）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$（x-1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}$=4．設(shè)z=$\sqrt{3}$x+y．把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入z=$\sqrt{3}$x+y，可得：z=2$\sqrt{3}$-t，由于直線l經(jīng)過(guò)圓心，kd 點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)滿足-2≤t≤2即可得出．

解答 解：（I）圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos（θ-$\frac{π}{3}$），展開(kāi)可得：ρ²=4$（\frac{1}{2}ρcosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ）$，
可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²-2x-2$\sqrt{3}$y=0．
（II）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$（x-1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}$=4，圓心C$（1，\sqrt{3}）$，半徑r=2．設(shè)z=$\sqrt{3}$x+y．
把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入z=$\sqrt{3}$x+y，可得：z=2$\sqrt{3}$-t，
由于直線l經(jīng)過(guò)圓心，
∴點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)滿足-2≤t≤2．
∴$2\sqrt{3}$-2≤$2\sqrt{3}$-t≤2$\sqrt{3}$+2．
即$\sqrt{3}$x+y的最大值和最小值分別為$2\sqrt{3}$+2；2$\sqrt{3}$-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．