Question

18．“城市呼喚綠化”，發(fā)展園林綠化事業(yè)是促進(jìn)國(guó)家經(jīng)濟(jì)發(fā)展和城市建設(shè)事業(yè)的重要組成部分，某城市響應(yīng)城市綠化的號(hào)召，計(jì)劃建一如圖所示的三角形ABC形狀的主題公園，其中一邊利用現(xiàn)成的圍墻BC，長(zhǎng)度為100$\sqrt{3}$米，另外兩邊AB，AC使用某種新型材料圍成，已知∠BAC=120°，AB=x，AC=y（x，y單位均為米）．
（1）求x，y滿足的關(guān)系式（指出x，y的取值范圍）；
（2）在保證圍成的是三角形公園的情況下，如何設(shè)計(jì)能使公園的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由余弦定理可得x²+y²-2xycos120°=30000，變形可得x²+y²+xy=30000，分析x、y的取值范圍即可得答案；
（2）由（1）可得x²+y²+xy=30000，對(duì)其變形可得x²+y²+xy=30000≥3xy，從而得到三角形面積的最大值．

解答 解：（1）在△ABC中，由余弦定理，得AB²+AC²-2AB•ACcosA=BC²，
所以x²+y²-2xycos120°=30000，
即x²+y²+xy=30000，…（4分）
又因?yàn)閤＞0，y＞0，所以0＜x＜100$\sqrt{3}$，0＜y＜100$\sqrt{3}$．…（6分）
（2）由（1）x²+y²+xy=30000得30000≥2xy+xy=3xy，所以xy≤1000，
要使所設(shè)計(jì)能使公園的面積最大，即S=$\frac{1}{2}xysin120°$最大，所以S=$\frac{\sqrt{3}}{4}xy≤\frac{\sqrt{3}}{4}×10000=2500\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=100時(shí)，上式不等式成立．…（11分）
故當(dāng)AB，AC邊長(zhǎng)均為100米時(shí)，所設(shè)計(jì)能使公園的面積最大，最大為2500$\sqrt{3}$米²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式在最值問(wèn)題中的運(yùn)用，關(guān)鍵是利用余弦定理得到變量x、y之間的關(guān)系．