Question

已知向量

m

=（2cos²x，

3

），

n

=（1，sin2x），函數(shù)f（x）=

m

•

n

，g（x）=

n

2．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，R為△ABC外接圓的半徑，且f（C）=3，c=1，sinAsinB=

2 3

4R2

，且a＞b，求a，b的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,正弦定理,余弦定理

專題：解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意結(jié)合數(shù)量積的定義可得函數(shù)f（x），由周期公式和整體代入可得答案；
（Ⅱ）由（1）結(jié)合f（C）=3可得角C的值，然后又余弦定理和正弦定理可得關(guān)于a，b的方程，聯(lián)立可解，再由a＞b可做取舍．

解答： 解：（Ⅰ）g(x)=

n

2=1+sin22x=1+

1-cos4x

2

=-

1

2

cos4x+

3

2

…（3分）
∴函數(shù)g（x）的最小周期T=

2π

4

=

π

2

…（5分）
（Ⅱ）f(x)=

m

•

n

=(2cos2x，

3

)•(1，sin2x)=2cos2x+

3

sin2x=cos2x+1+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)+1…（7分）
f(C)=2sin(2C+

π

6

)+1=3，
∴sin(2C+

π

6

)=1，
∵C是三角形內(nèi)角，
∴2C+

π

6

∈(

π

6

，

13π

6

)，
∴2C+

π

6

=

π

2

即：C=

π

6

…（9分）
∴cosC=

b2+a2-c2

2ab

=

3

2

即：a2+b2-1=

3

ab…（10分）
由sinAsinB=

2 3

4R2

可得：ab=2

3

得：a2+

12

a2

=7解之得：a²=3或4，
∴a=

3

或2所以當a=

3

時，b=2；
當a=2，b=

3

，
∵a＞b
∴a=2，b=

3

…（12分）

點評：本題為向量和三角函數(shù)以及解三角形的結(jié)合，熟練利用公式進行運算是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．