Question

17．已知數列{a_n}滿足，a₁=1，a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+1（n∈N^*）．
（I）求證：數列{a_n-2}是等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=（2n-1）•（2-a_n）（n∈N^*），求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得a_n+1-2=$\frac{1}{2}$（a_n-2），a₁-2=-1，由此能證明數列{a_n-2}是首項為-1，公比為$\frac{1}{2}$的等比數列，從而能求出a_n．
（Ⅱ）由b_n=（2n-1）$•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，（n∈N^*），利用錯位相減法能求出數列{b_n}的前n項和．

解答 證明：（Ⅰ）∵數列{a_n}滿足，a₁=1，a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+1（n∈N^*），
∴a_n+1-2=$\frac{1}{2}$（a_n-2），a₁-2=-1，
∴數列{a_n-2}是首項為-1，公比為$\frac{1}{2}$的等比數列，
∴a_n-2=-（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴a_n=2-（$\frac{1}{2}$）^n-1．
解：（Ⅱ）∵b_n=（2n-1）•（2-a_n）=（2n-1）$•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，（n∈N^*），
∴數列{b_n}的前n項和：
T_n=1+3$•\frac{1}{2}$+5•（$\frac{1}{2}$）²+7•（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-1）$•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，①
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+3•（\frac{1}{2}）^{2}+5•（\frac{1}{2}）^{3}+7•（\frac{1}{2}）^{4}$+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，②
①-②，得：$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+（$\frac{1}{2}$）⁰+$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+…+（$\frac{1}{2}$）^n-2-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=1+$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n-1}}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=3-（2n+3）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴T_n=6-（4n+6）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

點評 本題考查等比數列的證明，考查數列的通項公式及前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．