Question

18．已知A，B為橢圓$C：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$上兩個(gè)不同的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)直線OA，OB，AB的斜率分別為k₁，k₂，k．
（Ⅰ） 當(dāng)k₁=2時(shí)，求|OA|；
（Ⅱ） 當(dāng)k₁k₂-1=k₁+k₂時(shí)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直線OA斜率k₁=2，得直線OA的方程為y=2x，代入橢圓方程得出交點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出．
（Ⅱ） 設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=kx+b．與橢圓方程聯(lián)立可得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0，△＞0，再利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由直線OA斜率k₁=2，得直線OA的方程為y=2x，
代入橢圓方程得${x^2}=\frac{2}{9}$，
∴$|{OA}|=\sqrt{{x^2}+{{（2x）}^2}}=\frac{{\sqrt{10}}}{3}$．
（Ⅱ） 設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=kx+b．
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=kx+b\end{array}\right.$消去y得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0，
故△=16k²-8b²+8＞0，且$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{4kb}{{2{k^2}+1}}\\{x_1}{x_2}=\frac{{2{b^2}-2}}{{2{k^2}+1}}.\end{array}\right.$①，

由k₁+k₂=k₁k₂-1得x₂y₁+x₁y₂=y₁y₂-x₁x₂，
將y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b代入得$（{k^2}-2k-1）{x_1}{x_2}+b（k-1）（{x_1}+{x_2}）+{b^2}=0$，②
將①代入②得b²=-2k²+4k+2，
聯(lián)立△＞0與b²≥0得$\left\{\begin{array}{l}4{k^2}-4k-1＞0\\-2{k^2}+4k+2≥0\end{array}\right.$，

解得k的取值范圍為$[{1-\sqrt{2}，\frac{{1-\sqrt{2}}}{2}}）∪（{\frac{{1+\sqrt{2}}}{2}，1+\sqrt{2}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力，屬于難題．