Question

9．設(shè)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足$\frac{f（x）}{f′（x）}$+x＜1，下面不等式正確的是（　�。�

• A． f（x²）＜f（x-1）
• B． （x-1）f（x）＜xf（x+1）
• C． f（x）＞x-1
• D． f（x）＜0

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=（x-1）f（x），得到g（x）在R上單調(diào)遞減，根據(jù)g（1）=0，得到x＞1時：f（x）＜0，從而求出答案．

解答 解：∵f（x）定義在R上的增函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），
∴f′（x）＞0，
∵$\frac{f（x）}{f′（x）}$+x＜1，
∴（x-1）f′（x）+f（x）＜0，
設(shè)g（x）=（x-1）f（x），
∴g′（x）=（x-1）f′（x）+f（x）＜0，
∴g（x）在R上單調(diào)遞減，
∵g（1）=0，
∴當(dāng)x＞1時：g（x）=（x-1）f（x）＜g（1）=0，
∴x＞1時：f（x）＜0，
又f（x）是定義在R上的增函數(shù)，
∴當(dāng)x≤1時：必有f（x）＜0，
綜上可知f（x）＜0，x∈R，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，構(gòu)造函數(shù)g（x）=（x-1）f（x），根據(jù)x＞1時得到f（x）＜0是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．