Question

12．已知圓C₁：（x-2）²+（y-3）²=1和直線l：y=kx+1．
（1）若k=-1，求圓C₁關(guān)于直線l對稱的圓C₂的方程；
（2）若O為坐標原點，直線l交圓C₁于不同的兩點M，N，且$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$＞12，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)圓C₁的方程求出圓心和半徑，再根據(jù)垂直及中點在軸上這兩個條件，求出圓心關(guān)于直線的對稱點的坐標，即可求得關(guān)于直線對稱的圓的方程．
（2）把直線l的方程與圓的方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達定理及中點坐標公式，結(jié)合$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$＞12，列出關(guān)于k的不等式，即可求k的取值范圍．

解答 解：（1）圓C₁：（x-2）²+（y-3）²=1的圓心為 C₁（2，3），半徑為1，
設(shè)圓心C₁（2，3）關(guān)于直線y=-x+1的對稱點為C₂（m，n），
則由 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{n-3}{m-2}=1}\\{\frac{n+3}{2}=-\frac{m+2}{2}+1}\end{array}\right.$，求得m=-2，n=-1，故C₂（-2，-1），
再根據(jù)半徑為1，可得圓C₂的方程為（x+2）²+（y+1）²=1，
（2）把直線方程與圓方程聯(lián)立，消去y得到（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁和x₂為（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0的兩個根，
則MN中點橫坐標x₁+x₂=$\frac{4（1+k）}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{7}{1+{k}^{2}}$
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=$\frac{7}{1+{k}^{2}}$+$\frac{12{k}^{2}+4k+1}{1+{k}^{2}}$＞12，
即12k²+4k+8＞12（1+k²），解得k＞1．

點評 本題主要考查求一個圓關(guān)于一條直線的對稱的圓的方程的方法，考查韋達定理化簡求值，同時考查了計算能力，屬于中檔題．