Question

5．與圓（x+2）²+y²=1及圓（x-2）²+y²=4都外切的圓的圓心的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{15}{4}}$=1（x＜0）．

Answer 1

分析 設所求圓的圓心坐標P（x，y），半徑為r，兩圓的圓心分別是C₁，C₂，根據題意可知兩圓心的坐標，根據所求圓與兩個圓都外切進而可得PC₁|和|PC₂|的表達式，整理可得|PC₂|-|PC₁|=1，根據雙曲線定義可知P點的軌跡為C₁，C₂為焦點的雙曲線進而根據雙曲線的性質可求得雙曲線的方程．

解答 解：設所求圓的圓心坐標P（x，y），半徑為r，兩圓的圓心分別是C₁，C₂，
∵所求圓與兩個圓都外切，
∴|PC₁|=r+1，|PC₂|=r+2，
即|PC₂|-|PC₁|=1，
根據雙曲線定義可知P點的軌跡為以C₁，C₂為焦點的雙曲線，2c=4，c=2；2a=1，a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{\sqrt{15}}{2}$
∴P點的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{15}{4}}$=1（x＜0）．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{15}{4}}$=1（x＜0）．

點評 本題主要考查點的軌跡方程及雙曲線的性質．常用方法是直接法，定義法，代入轉移法等．