Question

15．已知函數(shù)f（x）=a^x-xlna+alnx-1（a＞0，且a≠1），給出下列結(jié)論：
①函數(shù)f（x）為定義域上的增函數(shù)；
②當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，1）上有且只有一個零點；
③對任意x∈[1，e]，都有f（x）≥$\frac{1}{e}$恒成立的充要條件為a∈[$\frac{1}{e}$，1）；
④設(shè)g（x）=f（x）-a^x，存在唯一實數(shù)a，使得對任意x＞0，都有g(shù)（x）+1≤0．
其中正確結(jié)論的序號為①②④．（寫出所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

分析 ①求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷①即可；
②根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到f（1）=a-lna-1，（0＜a＜1），令g（a）=a-lna-1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；
③根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性不妨令a=$\frac{2}{e}$，計算f（1），不合題意；
④問題轉(zhuǎn)化為$\frac{lna}{a}$≥$\frac{lnx}{x}$，令h（x）=$\frac{lnx}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的值即可判斷．

解答 解：①f′（x）=lna（a^x-1）+$\frac{a}{x}$，
0＜a＜1時，a^x-1＜0，lna＜0，$\frac{a}{x}$＞0，
∴f′（x）＞0，
a＞1時，a^x-1＞0，lna＞0，$\frac{a}{x}$＞0，
∴f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）為定義域上的增函數(shù)，
故①正確；
②由①得，f（x）在區(qū)間（a，1）遞增，
0＜a＜1，0＜a^a＜1，
∴f（a）=a^a-1＜0，
而f（1）=a-lna-1，（0＜a＜1），
令g（a）=a-lna-1，（0＜a＜1），
g′（a）=$\frac{a-1}{a}$＜0，g（a）遞減，
g（a）＞g（1）=0，
∴f（1）=g（a）＞0，
∴當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，1）上有且只有一個零點，
故②正確；
③對任意x∈[1，e]，由①f（x）在[1，e]遞增，
不妨令a=$\frac{2}{e}$，得f（1）=$\frac{2}{e}$-ln$\frac{2}{e}$-1=$\frac{2}{e}$-ln2＜$\frac{1}{e}$，
故③錯誤；
④若g（x）+1≤0，
即a^x-xlna+alnx-1-a^x+1≤0，
即$\frac{lna}{a}$≥$\frac{lnx}{x}$，
令h（x）=$\frac{lnx}{x}$，（x＞0），
∴h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令h′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令h′（x）＜0，解得：x＞e，
∴h（x）在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，
∴h（x）_最大值=h（e），此時a=e，
故④正確，
故答案為：①②④．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用以及特殊值法的應(yīng)用，是一道中檔題．