已知函數(shù),其中
是自然對數(shù)的底數(shù),
.
(1)若,求曲線
在點
處的切線方程;
(2)若,求
的單調(diào)區(qū)間;
(3)若,函數(shù)
的圖象與函數(shù)
的圖象有3個不同的交點,求實數(shù)
的取值范圍.
(1);(2)當
時,
的單調(diào)遞減區(qū)間為
,
,單調(diào)遞增區(qū)間為
;當
時,
的單調(diào)遞減區(qū)間為
;當
時,
的單調(diào)遞減區(qū)間為
,
,單調(diào)遞增區(qū)間為
;(3)
.
解析試題分析:(1) 利用導數(shù)的幾何意義求切線的斜率,再求切點坐標,最后根據(jù)點斜式直線方程求切線方程;(2)利用導數(shù)的正負分析原函數(shù)的單調(diào)性,注意在解不等式時需要對參數(shù)的范圍進行討論;(3)根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的極值,根據(jù)其圖像交點的個數(shù)確定兩個函數(shù)極值的大小關系,然后解對應的不等式.
試題解析:(1)因為,
所以,
所以曲線在點
處的切線斜率為
.
又因為,
所以所求切線方程為,即
. 2分
(2),
①若,當
或
時,
;當
時,
.
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為
,
;
單調(diào)遞增區(qū)間為. 4分
②若,
,
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為
. 5分
③若,當
或
時,
;當
時,
.
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為
,
;
單調(diào)遞增區(qū)間為. 7分
(3)由(2)知函數(shù)在
上單調(diào)遞減,在
單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,
所以在
處取得極小值
,在
處取得極大值
. 8分
由,得
.
當或
時,
;當
時,
.
所以在
上單調(diào)遞增,在
單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增.
故在
處取得極大值
,在
處取得極小值
. 10分
因為函數(shù)與函數(shù)
的圖象有3個不同的交點,
所以,即
. 所以
. 12分
考點:1.導數(shù)的幾何意義;2.切線方程;3.利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性4.分類討論;5.極值6.零點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),
(1)求在
處切線方程;
(2)求證:函數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞減;
(3)若不等式對任意的
都成立,求實數(shù)
的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中
是自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)若函數(shù)對任意
滿足
,求證:當
時,
;
(Ⅲ)若,且
,求證:
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)
(1)若函數(shù)在點
處的切線方程為
,求
的值;
(2)若,函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)有唯一零點,求
的取值范圍;
(3)若對任意的,均有
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設函數(shù),其中
.
(1)若在
處取得極值,求常數(shù)
的值;
(2)設集合,
,若
元素中有唯一的整數(shù),求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),
(1)求函數(shù)的極值點;
(2)若直線過點
,并且與曲線
相切,求直線
的方程;
(3)設函數(shù),其中
,求函數(shù)
在
上的最小值(其中
為自然對數(shù)的底數(shù)).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),
⑴求證函數(shù)在
上的單調(diào)遞增;
⑵函數(shù)有三個零點,求
的值;
⑶對恒成立,求a的取值范圍。
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