Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-x，x∈[{-1，0}）\\ \frac{1-f（x-1）}{f（x-1）}，x∈[{0，1}）\end{array}\right.$，若方程f（x）-kx+k=0 有二個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． $（{-1，-\frac{1}{2}}]$
• B． $[{-\frac{1}{2}，0}）$
• C． [1，+∞）
• D． $[{-\frac{1}{2}，+∞}）$

Answer 1

分析 先化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，結(jié)合題意可得函數(shù)f（x）的圖象和直線y=k（x-1）有2個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得k的范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-x，x∈[{-1，0}）\\ \frac{1-f（x-1）}{f（x-1）}，x∈[{0，1}）\end{array}\right.$，
∴當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，x-1∈[-1，0），f（x-1）=-（x-1）=1-x，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x∈[-1，0）}\\{\frac{x}{1-x}，x∈[0，1）}\end{array}\right.$．
∵方程f（x）-kx+k=0 有二個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
故函數(shù)f（x）的圖象（圖中黑色曲線）和直線y=kx-k（圖中紅色曲線）有2個(gè)不同的交點(diǎn)．
如圖所示：
由于直線AB的斜率為$\frac{1-0}{-1-1}$=-$\frac{1}{2}$，故直線y=kx-k的斜率k滿足：0＞k≥-$\frac{1}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，函數(shù)的圖象，屬于中檔題．