Question

6．已知函數(shù)f（x）的定義域為D，若對于任意的x₁，x₂∈D，當x₁＜x₂時，都有f（x₁）≤f（x₂），則稱函數(shù)f（x）在D上為非減函數(shù)．設(shè)f（x）在[0，1]上為非減函數(shù)，且滿足以下三個條件：
（1）f（0）=0；（2）f（${\frac{x}{3}}$）=$\frac{1}{2}$f（x）；
（3）f（1-x）=1-f（x）．
則f（1）+f（${\frac{1}{2}}$）+f（${\frac{1}{3}}$）+f（${\frac{1}{6}}$）+f（${\frac{1}{7}}$）+f（${\frac{1}{8}}$）=$\frac{11}{4}$．

Answer 1

分析 由f（1-x）=1-f（x），f（0）=0，令x=$\frac{1}{2}$可求得f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$；再通過f（${\frac{x}{3}}$）=$\frac{1}{2}$f（x），利用賦值法可分別求得f（${\frac{1}{3}}$）、f（${\frac{1}{6}}$）、f（${\frac{1}{7}}$）、f（${\frac{1}{8}}$）的值，從而可得f（1）+f（${\frac{1}{2}}$）+f（${\frac{1}{3}}$）+f（${\frac{1}{6}}$）+f（${\frac{1}{7}}$）+f（${\frac{1}{8}}$）的值．

解答 解：∵f（1-x）=1-f（x），f（0）=0，
∴f（1-1）=1-f（1）=0，即f（1）=1；
f（1-$\frac{1}{2}$）=1-f（$\frac{1}{2}$），整理得：f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$；
又f（${\frac{x}{3}}$）=$\frac{1}{2}$f（x），
令x=1，則f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（1）=$\frac{1}{2}$；
令x=$\frac{1}{2}$，則f（$\frac{1}{6}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$；
令x=$\frac{1}{3}$，則f（$\frac{\frac{1}{3}}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{4}$，即f（$\frac{1}{9}$）=$\frac{1}{4}$；
∵$\frac{1}{9}$＜$\frac{1}{8}$＜$\frac{1}{7}$＜$\frac{1}{6}$，對于任意的x₁，x₂∈D，當x₁＜x₂時，都有f（x₁）≤f（x₂），
∴f（${\frac{1}{7}}$）=f（${\frac{1}{8}}$）=$\frac{1}{4}$，
則f（1）+f（${\frac{1}{2}}$）+f（${\frac{1}{3}}$）+f（${\frac{1}{6}}$）+f（${\frac{1}{7}}$）+f（${\frac{1}{8}}$）=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$×3=$\frac{11}{4}$．
故答案為：$\frac{11}{4}$．

點評 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，突出考查整體思想與賦值法的綜合運用，屬于中檔題．