Question

3．已知直線y=1-x交橢圓mx²+ny²=1于M、N兩點(diǎn)，弦MN的中點(diǎn)為P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OP的斜率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則$\frac{m}{n}$的值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 利用“點(diǎn)差法”、線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率的計(jì)算公式即可得出．

解答 解：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點(diǎn)為P（x₀，y₀），
由直線y=1-x可得，$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-1．①
把點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入橢圓的方程mx²+ny²=1
可得mx₁²+ny₁²=1，mx₂²+ny₂²=1，
兩式相減可得m（x₁-x₂）（x₁+x₂）+n（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，②
①②代入得mx₀+ny₀×（-1）=0，
直線OP的斜率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即為$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得$\frac{m}{n}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握“點(diǎn)差法”、線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．