Question

1．若f（x）=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+blnx在（1，+∞）上是減函數，則b的取值范圍是（　　）

• A． [-1，+∞）
• B． （-1，+∞）
• C． （-∞，-1]
• D． （-∞，-1）

Answer 1

分析 求導函數后，由已知f′（x）=-x+2+$\frac{x}$，在（1，+∞）上恒成立．分離b后求相關函數最值．

解答 解：f′（x）=-x+2+$\frac{x}$，
由于f（x）在[1，+∞）上是減函數，
所以f′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立．
所以-x+2+$\frac{x}$≤0，
即b≤x（x-2），
令g（x）=x（x-2），x∈（1，+∞），
只需b≤g（x）min．
因為g（x）=（x-1）²-1在（1，+∞）單調遞增，
g（x）＜g（1）=-1，
所以b≤-1，
b的取值范圍是（-∞，-1]
故選：C

點評 本題考查單調性與導數的關系，考查轉化計算能力，參數分離的方法，屬于中檔題．