求證：（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））＞e2n-3，（n∈N*）．
考點(diǎn)：數(shù)列的求和
專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析：要證（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））＞e2n-3，可兩邊取對(duì)數(shù)，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明．
解答： 證明：要證（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））＞e2n-3，
只需證ln[（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））]＞2n-3，
即ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+n（n+1））＞2n-3．
可以下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí) 左邊=ln3＞0，右邊=-1，不等式顯然成立；
②當(dāng)n=2時(shí) 左邊=ln3+ln7=ln21 右邊=1 顯然不等式成立；
③假設(shè)n=k（ k≥2）時(shí)成立，即ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+k（k+1）＞2k-3，
那么n=k+1時(shí)，
ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+（k+1）（k+2））
=ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+k（k+1））+ln（1+（k+1）（k+2））
＞2k-3+ln（1+（k+1）（k+2））
∵當(dāng)k≥2時(shí) ln（1+（k+1）（k+2））＞2．
∴l(xiāng)n（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+（k+1）（k+2））
＞2k-3+2=2k-1=2（k+1）-3，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立．
綜上所述ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+n（n+1））＞2n-3成立．
則（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））＞e2n-3．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式，利用歸納法證明不等式時(shí)可結(jié)合分析法、反證法、放縮法等，是中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

正方體的內(nèi)切球的體積為36π，則此正方體的表面積是（V球體=
4
3
πR3（R為球的半徑））（　�。�
A、216B、72
C、108D、648

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

∫
1
0
（x2-2k）dx=1，則k=
 
．

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已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M（
3π
4
，0）對(duì)稱，且在區(qū)間[0，
π
2
]上是單調(diào)函數(shù)，
（1）求φ和ω的值；
（2）已知對(duì)任意x∈R函數(shù)g（x）滿足g（π+x）=g（π-x），且當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，g（x）=f（x），試求：g（
3π
2
）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若由表格中的數(shù)據(jù)可以判定方程ex-x-2=0的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為（k，k+1）（k∈N），則實(shí)數(shù)k的值為
 
．
x-10123
ex0.3712.727.3920.09
x+212345

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知某公司生產(chǎn)品牌服裝的年固定成本是10萬(wàn)元，每生產(chǎn)一千件，需另投入2.7萬(wàn)元，設(shè)該公司年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R（x）萬(wàn)元，且R（x）=
10.8-
x2
30
，0＜x≤10
10.8
x
-
1000
3x2
，x＞10
．
（1）寫(xiě)出年利潤(rùn)W（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；
（2）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？
（注：年利潤(rùn)=年銷售收入-年總成本）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

解不等式：log4（x2-4x-5）＜
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知命題P：方程
x2
k-3
+
y2
2
=1表示焦點(diǎn)在x軸的橢圓，命題Q：向量
m
=(-1，2，3)與向量
n
=(k，1，-
1
2
)，的夾角為銳角，若P或Q為真，P且Q為假，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f（x）=log2（10-ax），其中a為常數(shù)，f（3）=2．
（1）求a的值；
（2）若對(duì)于任意的x∈[3，4]，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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