Question

設(shè)f（x）=log₂（10-ax），其中a為常數(shù)，f（3）=2．
（1）求a的值；
（2）若對(duì)于任意的x∈[3，4]，不等式f（x）＞2^x+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）解對(duì)數(shù)方程，即可得到a=2；
（2）運(yùn)用參數(shù)分離可得m＜log₂（10-2x）-2^x對(duì)于任意的x∈[3，4]恒成立．由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷y=log₂（10-2x）-2^x在[3，4]遞減，可得最小值為-15，只要m小于最小值即可．

解答： 解：（1）由f（x）=log₂（10-ax），f（3）=2，
則log₂（10-3a）=2，即10-3a=4，
解得，a=2；
（2）f（x）=log₂（10-2x），
對(duì)于任意的x∈[3，4]，不等式f（x）＞2^x+m恒成立，
即有m＜log₂（10-2x）-2^x對(duì)于任意的x∈[3，4]恒成立．
由y=log₂（10-2x）在[3，4]遞減，y=-2^x在[3，4]遞減，
則y=log₂（10-2x）-2^x在[3，4]遞減，
則當(dāng)x=4時(shí)，y=log₂（10-2x）-2^x取得最小值，且為log₂2-2⁴=-15，
則有m＜-15．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-15）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)用，考查不等式的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．