Question

已知某公司生產(chǎn)品牌服裝的年固定成本是10萬元，每生產(chǎn)一千件，需另投入2.7萬元，設(shè)該公司年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R（x）萬元，且R（x）=

10.8- x2 30 ，0＜x≤10 10.8 x - 1000 3x2 ，x＞10

．
（1）寫出年利潤W（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；
（2）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲利潤最大？
（注：年利潤=年銷售收入-年總成本）

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)0＜x≤10時(shí)，W=xR（x）-（10+2.7x）=8.1x-

x3

30

-10，當(dāng)x＞10時(shí)，W=xR（x）-（10+2.7x）=98-

1000

3x

-2.7x，由此能求出年利潤W（萬元）關(guān)于該特許商品x（千件）的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)0＜x≤10時(shí)，由W′=8.1-

x2

10

=0，得x=9，推導(dǎo)出當(dāng)x=9時(shí)，W取最大值，且w_max=38.6；當(dāng)x＞10時(shí)，W≤38．由此得到當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲利潤最大．

解答： 解：（1）當(dāng)0＜x≤10時(shí)，
W=xR（x）-（10+2.7x）=8.1x-

x3

30

-10，
當(dāng)x＞10時(shí)，W=xR（x）-（10+2.7x）=98-

1000

3x

-2.7x，
∴W=

8.1x- x3 30 -10，0＜x≤10 98- 1000 3x -2.7x，x＞10

；
（2）①當(dāng)0＜x≤10時(shí)，
由W′=8.1-

x2

10

=0，得x=9，且當(dāng)x∈（0，9）時(shí)，w′＞0，
當(dāng)x∈（9，10）時(shí)，w′＜0．
∴當(dāng)x=9時(shí)，W取最大值，且w_max=8.1×9-

1

30

×9³-10=38.6．
②當(dāng)x＞10時(shí)，W=98-（

1000

3x

+2.7x）＜98-2

1000 3x •2.7x

=38，
當(dāng)且僅當(dāng)

1000

3x

=2.7x，即x=

100

9

時(shí)，W_max=38．
綜合①、②知x=9時(shí)，W取最大值．
所以當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲利潤最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求年利潤的最大值，注意分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．