Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²-ax-$\frac{a}{4}+\frac{1}{2}$，x∈[0，1]，求f（x）的最小值g（a）．

Answer 1

分析 先確定函數(shù)的對稱軸和開口方向，需分3種情形討論，最后求出最小值g（a）的表達式．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²-ax-$\frac{a}{4}+\frac{1}{2}$=（x-$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}$-$\frac{a}{4}$+$\frac{1}{2}$的對稱軸為x=$\frac{a}{2}$，開口向上，
∴當$\frac{a}{2}$≤0時，即a≤0，函數(shù)在[0，1]增函數(shù)，g（a）=f（x）_min=f（0）=-$\frac{a}{4}$+$\frac{1}{2}$，
當0＜$\frac{a}{2}$＜1時，即0＜a＜2時，函數(shù)在[0，a]上為減函數(shù)，在[a，1]上為增函數(shù)，g（a）=f（x）_min=f（a）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$-$\frac{a}{4}$+$\frac{1}{2}$
當a≥2時，函數(shù)在[0，1]上為減函數(shù)，g（a）=f（x）_min=f（1）=$\frac{3}{2}$-$\frac{5a}{4}$，
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{4}+\frac{1}{2}，a≤0}\\{-\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{a}{4}+\frac{1}{2}，0＜a＜2}\\{\frac{3}{2}-\frac{5}{4}a，a≥2}\end{array}\right.$

點評 本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，特別是求二次函數(shù)的最值，需要分類討論，做到不重不漏，解題時要學會用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題