Question

10．已知向量$\overrightarrow m=（{e^x}+\frac{x^2}{2}，x）$，$\overrightarrow n=（2，a）$，若對于函數(shù)$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$在區(qū)間（-1，0）上存在單調遞增區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是[-2，+∞）．

Answer 1

分析 先根據(jù)向量的數(shù)量積公式得到$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$=2e^x+x²+ax，根據(jù)題意可得a＞-2e^x-2x在（-1，0）上有解，轉化為g（x）=-2x-2e^x，a＞g（x）_min，利用導數(shù)求出最值即可

解答 解：∵向量$\overrightarrow m=（{e^x}+\frac{x^2}{2}，x）$，$\overrightarrow n=（2，a）$，
∴函數(shù)$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$=2e^x+x²+ax，
∴f′（x）=2e^x+2x+a，
∵函數(shù)$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$在區(qū)間（-1，0）上存在單調遞增區(qū)間，
∴f′（x）=2e^x+2x+a＞0，
即a＞-2e^x-2x在（-1，0）上有解，
令g（x）=-2e^x-2x，
∴g′（x）=-2-2e^x＜0在（-1，0）上恒成立，
∴g（x）在（-1，0）上單調遞減，
∴g（x）＞g（0）=-2，
∴a≥2
故答案為[-2，+∞）

點評 本題考察了向量的數(shù)量積的運算和導數(shù)在解決函數(shù)最值，單調性，不等式成立問題中的應用，屬于中檔題．