Question

3．已知函數(shù)$f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的圖象過點(diǎn)$P（\frac{π}{12}，0）$，圖象上與點(diǎn)P最近的一個頂點(diǎn)是$Q（\frac{π}{3}，5）$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及其對稱中心；    
（2）作出函數(shù)在[0，π]上的圖象．

Answer 1

分析 （1）由已知中函數(shù)的圖象過兩個點(diǎn)，可以求出A，根據(jù)兩點(diǎn)之間的橫坐標(biāo)之差為四分之一個周期，可以求出函數(shù)的周期，進(jìn)而得到ω的值，將 （$\frac{π}{3}$，5）點(diǎn)代入求出φ值后，即可得到函數(shù)解析式，令2x-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，可得對稱中心．
（2）分別取2x-$\frac{π}{6}$=0、$\frac{π}{2}$、π、$\frac{3π}{2}$、2π，求出對應(yīng)的x值和y值列表，然后描點(diǎn)，再用平滑曲線連接得函數(shù)圖象．

解答 解：（1）由已知點(diǎn)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象過點(diǎn) $P（\frac{π}{12}，0）$，圖象中與點(diǎn)P最近的最高點(diǎn)是 （$\frac{π}{3}$，5），
∴A=5，$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{4}$，
∴T=π，可得：ω=$\frac{2π}{T}$=2，
∴y=5sin（2x+φ），
將 （$\frac{π}{3}$，5）代入解析式得：5=5sin（$\frac{2π}{3}$+φ），
∴$\frac{2π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴φ=-$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z，
∵|φ|＜π，
令k=0，則有φ=-$\frac{π}{6}$
∴y=5sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令2x-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，可得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，可得其對稱中心為：（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，0），（k∈Z）
（2）列表如下：

x	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{13π}{12}$
2x-$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
sin（2x-$\frac{π}{6}$）	0	1	0	-1	0
y	0	5	0	-5	0

描點(diǎn)連線，作圖如下：

點(diǎn)評 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查利用五點(diǎn)作圖法作函數(shù)的圖象，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．