Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=

（1）求證：PC⊥BC

（2）求點(diǎn)A到平面PBC的距離

 

Answer 1

（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：

（1）要證明，可以轉(zhuǎn)化為證明垂直于所在的平面，由平面，，，，，容易證明平面，從而得證；

（2）有兩種方法可以求點(diǎn)到平面的距離：

方法一，注意到第一問證明的結(jié)論，取的中點(diǎn)，容易證明∥平面，點(diǎn)到平面的距離相等，而到平面的距離等于到平面的距離的2倍，由第一問證明的結(jié)論知平面⊥平面，交線是，所以只求到的距離即可，在等腰直角三角形中易求；

方法二，等體積法：連接，則三棱錐與三棱錐體積相等，而三棱錐體積易求，三棱錐的地面的面積易求，其高即為點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為，則利用體積相等即求．

試題解析：（1）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015011707174907395831/SYS201501170719118895230013_DA/SYS201501170719118895230013_DA.031.png">平面，平面，所以．由，得，又，?平面，所以⊥平面．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015011707174907395831/SYS201501170719118895230013_DA/SYS201501170719118895230013_DA.040.png">?平面，故．

（2）連接．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015011707174907395831/SYS201501170719118895230013_DA/SYS201501170719118895230013_DA.046.png">，，所以．

從而，，得的面積1．由平面及，得三棱錐的體積.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015011707174907395831/SYS201501170719118895230013_DA/SYS201501170719118895230013_DA.031.png">平面，平面，所以．又，所以．由，，得的面積．由，，得，故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于．

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．