Question

2．已知橢圓C：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且過定點(diǎn)M（1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線l：y=kx-$\frac{1}{3}$（k∈R）與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，試問在y軸上是否存在定點(diǎn)P，使得以弦AB為直徑的圓恒過P點(diǎn)？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)和△PAB的面積的最大值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)M滿足橢圓方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，設(shè)P（0，p），求得向量PA，PB和數(shù)量積，再由直徑所對(duì)的圓周角為直角，結(jié)合向量垂直的條件，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由已知可得$\left\{\begin{array}{l}e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\{b^2}+{c^2}={a^2}\\ \frac{1}{{2{a^2}}}+\frac{1}{b^2}=1\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{a^2}=\frac{5}{2}\\{b^2}=\frac{5}{4}\end{array}\right.$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{2{y^2}}}{5}+\frac{{4{x^2}}}{5}=1$；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}y=kx-\frac{1}{3}\\ \frac{{2{y^2}}}{5}+\frac{{4{x^2}}}{5}=1\end{array}\right.$得：9（2k²+4）x²-12kx-43=0①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁、x₂是方程①的兩根，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{12k}{{9（2{k^2}+4）}}，{x_1}{x_2}=-\frac{43}{{9（2{k^2}+4）}}$，
設(shè)P（0，p），則$\overrightarrow{PA}=（{x_1}，{y_1}-p），\overrightarrow{PB}=（{x_2}，{y_2}-p）$，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}-p（{y_1}+{y_2}）+{p^2}={x_1}{x_2}+（k{x_1}-\frac{1}{3}）（k{x_2}-\frac{1}{3}）-pk（{x_1}+{x_2}）+\frac{2p}{3}+{p^2}$
=$\frac{{（18{p^2}-45）{k^2}+36{p^2}+24p-39}}{{9（2{k^2}+4）}}$
假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)P，使得以弦AB為直徑的圓恒過P點(diǎn)，
則$\overrightarrow{PA}⊥\overrightarrow{PB}$，即$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$．
即（18p²-45）k²+36p²+24p-39=0對(duì)任意k∈R恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}18{p^2}-45=0\\ 36{p^2}+24p-39=0\end{array}\right.$，
此方程組無解，
∴不存在定點(diǎn)滿足條件．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查存在性問題的解法，注意運(yùn)用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理和向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．