Question

10．在極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R），以極坐標(biāo)為原點(diǎn)，極軸為x軸非負(fù)半軸建立直角坐標(biāo)系，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ+2}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$．
（I）寫出直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P在直線l上，過點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為M，N，當(dāng)∠MPN最大時(shí)，求點(diǎn)P的直角坐標(biāo)系．

Answer 1

分析 （I）由直線l的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R），利用$\frac{y}{x}$=tanθ即可得出直角坐標(biāo)方程．
（II）圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ+2}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，利用cos²θ+sin²θ=1即可化為普通方程．由圓心C作CP⊥l，垂足為P點(diǎn)，CP取得最小值，則此時(shí)∠MPN取得最大值．垂線CP的方程為：y=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2），與直線l的方程聯(lián)立即可解出坐標(biāo)．

解答 解：（I）由直線l的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R），可得直角坐標(biāo)方程：y=$\sqrt{3}$x．
（II）圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ+2}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，
化為普通方程：（x-2）²+y²=1，可得圓心C（2，0），半徑r=1．
由圓心C作CP⊥l，垂足為P點(diǎn)，則CP取得最小值，
此時(shí)∠MPN取得最大值．
垂線CP的方程為：y=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y-2=0}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
∴P$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、三角函數(shù)基本關(guān)系式、直線與圓相切的性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．