Question

2．某廠生產(chǎn)產(chǎn)品x件的總成本C（x）=1000+x²（萬元），已知產(chǎn)品單價(jià)P（萬元）與產(chǎn)品件數(shù)x滿足：P²=$\frac{k}{x}$，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50萬元．
（1）設(shè)產(chǎn)量為x件時(shí)，總利潤(rùn)為L(zhǎng)（x）（萬元），求L（x）的解析式；
（2）產(chǎn)量x定為多少時(shí)總利潤(rùn)L（x）（萬元）最大？并求最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可求出k=250000，進(jìn)而得出總利潤(rùn)為L(zhǎng)（x）為總賣價(jià)減去總成本；
（2）根據(jù)利潤(rùn)表達(dá)式，求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的極值，進(jìn)而求出函數(shù)的最大值．

解答 解：（1）由產(chǎn)品單價(jià)P（萬元）與產(chǎn)品件數(shù)x滿足：${P^2}=\frac{k}{x}$，
生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50萬元，得${50^2}=\frac{k}{100}$，
∴k=250000…（2分）
即${P^2}=\frac{250000}{x}$$⇒P=\frac{500}{{\sqrt{x}}}$．$L（x）=xP-（1000+{x^2}）=500\sqrt{x}-1000-{x^2}$
（x∈（0，+∞）且x∈N^*）．…（6分）
（2）由$L（x）=500\sqrt{x}-1000-{x^2}$得$L'（x）=500•\frac{1}{{2\sqrt{x}}}-2x$．
令L'（x）=0即${（\sqrt{x}）^3}=125$，
∴x=25…（9分）
當(dāng)x∈（0，25）時(shí)，L'（x）＞0，L（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（25，+∞）時(shí)，L'（x）＜0，L（x）單調(diào)遞減；
因此當(dāng)x=25時(shí)，L（x）取得最大值，且最大值為L(zhǎng)（25）=2500-1000-625=875（萬元）
故產(chǎn)量x定為25件時(shí)，總利潤(rùn)L（x）（萬元）最大，最大值為875萬元．   …（13分）

點(diǎn)評(píng) 考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的最值和實(shí)際應(yīng)用．難點(diǎn)是正確找出等量關(guān)系，列出方程．