Question

18．設函數f（x）=lnx+$\frac{m}{x}$，m∈R．
（I）當m=1時，求f（x）的極小值；
（Ⅱ）當0＜m＜$\frac{2}{3}$時，判斷函數g（x）=f′（x）-$\frac{x}{3}$零點的個數；
（Ⅲ）若h（x）=f（x）-x在（0，+∞）上單凋遞減，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）m=1時，f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，利用f′（x）判定f（x）的增減性并求出f（x）的極小值；
（Ⅱ）由函數g（x）=f′（x）-$\frac{x}{3}$，令g（x）=0，求出m；設φ（x）=m，求出φ（x）的值域，討論m的取值，對應g（x）的零點情況；
（Ⅲ）求出h（x）的導數，問題轉化為m≥x-x²在（0，+∞）恒成立，根據二次函數的性質求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）當m=1時，f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$；
∴當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上是減函數；
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函數；
∴x=1時，f（x）取得極小值為f（1）=ln1+1=1；
（Ⅱ）∵函數g（x）=f′（x）-$\frac{x}{3}$=$\frac{1}{x}$-$\frac{m}{{x}^{2}}$-$\frac{x}{3}$（x＞0），
令g（x）=0，得m=-$\frac{1}{3}$x³+x（x＞0）；
設φ（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x（x＞0），
∴φ′（x）=-x²+1=-（x-1）（x+1）；
當x∈（0，1）時，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函數，
當x∈（1，+∞）時，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是減函數；
∴x=1是φ（x）的極值點，且是極大值點，
∴x=1是φ（x）的最大值點，
∴φ（x）的最大值為φ（1）=$\frac{2}{3}$；
又φ（0）=0，結合y=φ（x）的圖象，如圖；
當0＜m＜$\frac{2}{3}$時，函數g（x）有兩個零點；
（Ⅲ）h（x）=lnx+$\frac{m}{x}$-x，（x＞0），
h′（x）=$\frac{x-m{-x}^{2}}{{x}^{2}}$，
若h（x）在（0，+∞）上單調遞減，
則x-m-x²≤0在（0，+∞）恒成立，
即m≥x-x²在（0，+∞）恒成立，
而y=x-x²在（0，+∞）的最大值是$\frac{1}{4}$，
∴m≥$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了導數的綜合應用問題，解題時應根據函數的導數判定函數的增減性以及求函數的極值和最值，應用分類討論法，構造函數等方法來解答問題．