Question

8．AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的動點，過動點C的直線VC垂直于⊙O所在的平面，D，E分別是VA，VC的中點．
（1）試判斷直線DE與平面VBC的位置關系，并說明理由；
（2）若已知AB=VC=2，0＜BC＜1，求二面角C-VB-A的余弦值的范圍．

Answer 1

分析 （1）推導出AC⊥面VBC，DE∥AC，由此能證明DE⊥面VBC．
（2）以點C為原點，CA、CB、CV分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C-VB-A余弦值的范圍．

解答 證明：（1）∵AC⊥BC，VC⊥AC，
∴AC⊥面VBC，
∵D、E分別為VC、VA中點，
∴DE∥AC，
∴DE⊥面VBC…（5分）
解：（2）以點C為原點，CA、CB、CV分別為x、y、z軸，建立如圖所示坐標系，
設BC=b，CA=a，則a²+b²=4，0＜b＜1．
則點A（a，0，0），B（0，b，0），C（0，0，0），V（0，-b，2），
由（1）知面VBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
設面VCA的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BA}$=0，$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BV}=0$，
$\overrightarrow{BA}$=（a，-b，0），$\overrightarrow{BV}$=（0，-2b，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{ax-by=0}\\{-2by+2z=0}\end{array}\right.$，令y=1，則$\overrightarrow{m}$=（$\frac{a}$，1，$\frac{2}$），…（8分）
設二面角C-VB-A大小為θ，
則$cosθ=\frac{{\frac{a}}}{{\sqrt{\frac{b^2}{a^2}+1+\frac{b^2}{4}}=\frac{{\sqrt{{a^2}+{b^2}+\frac{{{a^2}{b^2}}}{4}}}}}}$，
∵a²+b²=4，∴$cosθ=\frac{{\sqrt{4+\frac{{{a^2}{b^2}}}{4}}}}=\frac{1}{{\sqrt{\frac{4}{b^2}+\frac{a^2}{4}}}}=\frac{1}{{\sqrt{\frac{4}{b^2}-\frac{b^2}{4}+1}}}$，
又因為0＜b＜1，所以$0＜cosθ＜\frac{2}{{\sqrt{19}}}$
∴二面角C-VB-A余弦值的范圍為：$（{0，\frac{2}{{\sqrt{19}}}}）$．…（12分）

點評 本題考查二面角的余弦值的范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．