11.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=BC=2AC=4.
(Ⅰ)若點P為AA1的中點,求證:平面B1CP⊥平面B1C1P;
(Ⅱ)在棱AA1上是否存在一點P,使得二面角B1-CP-C1的大小為60°?若存在,求出|AP|的值;若不存在,說明理由.

分析 (Ⅰ)推導(dǎo)出B1C1⊥A1C1,B1C1⊥CC1,從而B1C1⊥平面ACC1A1,進而B1C1⊥CP,再求出CP⊥C1P,從而CP⊥平面B1C1P,由此能證明平面B1CP⊥平面B1C1P.
(Ⅱ)以C為原點,CA,CB,CC1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出在棱AA1上存在一點P,使得二面角B1-CP-C1的大小為60°,且|AP|=2$\sqrt{2}$

解答 證明:(Ⅰ)∵∠A1C1B1=∠ACB=90°,∴B1C1⊥A1C1,
由直三棱錐性質(zhì)得B1C1⊥CC1,且A1C1∩CC1=C1
∴B1C1⊥平面ACC1A1,
∵CP?平面ACC1A1,∴B1C1⊥CP,
由A1A=BC=2AC=4,P為A1A中點,知CP=C1P=2$\sqrt{2}$,
∴$C{P}^{2}+{C}_{1}{P}^{2}$=$C{{C}_{1}}^{2}=16$,即CP⊥C1P,
B1C1∩C1P=C1,∴CP⊥平面B1C1P,
∵CP?平面B1CP,
∴平面B1CP⊥平面B1C1P.
解:(Ⅱ)如圖,以C為原點,CA,CB,CC1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,
設(shè)|AP|=a,P(2,0,a),C(0,0,0),B1(0,4,4),B(0,4,0),
$\overrightarrow{CP}$=(2,0,a),$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=(0,4,4),
設(shè)平面B1CP的法向量為$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=4y+4z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=2x+az=0}\end{array}\right.$,取z=-1,得$\overrightarrow{m}$=($\frac{a}{2},1,-1$),
平面C1CP的一個法向量$\overrightarrow{CB}$=(0,4,0),
∵二面角B1-CP-C1的大小為60°,
∴cos60°=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CB}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{CB}|}$=$\frac{4}{4×\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}+2}}$=$\frac{1}{2}$,
解得a=2$\sqrt{2}<4=A{A}_{1}$,
∴在棱AA1上存在一點P,使得二面角B1-CP-C1的大小為60°,且|AP|=2$\sqrt{2}$

點評 本題考查面面垂直的證明,考查滿足二面角為60°的點是否存在的判斷與求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.

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