Question

13．已知圓O半徑為2，弦AB=2，點(diǎn)C為圓O上任意一點(diǎn)，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的最大值是6．

Answer 1

分析 可取AB的中點(diǎn)D，并連接OD，OA，OC，則可根據(jù)條件求得$cos∠OAD=\frac{1}{2}$，而$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$，代入$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=4cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OC}＞+2$，從而便可得出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的最大值．

解答 解：如圖，取AB中點(diǎn)D，連接OD，OA，OC，則：
cos∠OAD=$\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}）$
=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OA}$
=$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{OC}|cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OC}＞+|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{OA}|cos∠OAD$
=$4cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OC}＞+2$
≤6；
當(dāng)$cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OC}＞=1$，即$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OC}$同向時(shí)取“=”；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的最大值為6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 考查圓心和弦中點(diǎn)的連線和弦垂直，三角函數(shù)的定義，向量減法的幾何意義，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，余弦函數(shù)的最大值，向量夾角的概念．