1.已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-1|+a(a∈R).
(Ⅰ)若a=1,求不等式f(x)≥0的解集;
(Ⅱ)若方程f(x)=x有三個實數(shù)根,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)根據(jù)絕對值的意義,求得不等式f(x)≤6的解集.
(Ⅱ)函數(shù)f(x)的圖象與直線y=x有3個不同的交點,數(shù)形結(jié)合可得a的范圍.

解答 解:(Ⅰ)∵a=1時,f(x)=|x+1|-|x-1|+1,
∴當x≤-1時,f(x)=-1,不可能非負.
當-1<x<1時,f(x)=2x+1,由f(x)≥0可解得x≥$-\frac{1}{2}$,于是$-\frac{1}{2}$≤x<1.
當x≥1時,f(x)=3>0恒成立.
∴不等式f(x)≥0的解集$[-\frac{1}{2}\;,\;\;+∞)$.…(5分)
(Ⅱ)由方程f(x)=x可變形為a=x+|x-1|-|x+1|.
令$h(x)=x+|{x-1}|-|{x+1}|=\left\{\begin{array}{l}x+2,x<-1\\-x,\;\;\;-1≤x≤1\\ x-2,x>1\end{array}\right.$
作出圖象如右. …(8分)
于是由題意可得-1<a<1.…(10分)

點評 本題主要絕對值的意義,方程根的存在性以及個數(shù)判斷,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想,屬于中檔題.

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