Question

10．知函數(shù)f（x）=|lnx|，設(shè)x₁≠x₂且f（x₁）=f（x₂）．
（1）證明：（x₁-1）（x₂-1）＜0，且x₁x₂=1．
（2）若x₁+x₂+f（x₁）+f（x₂）＞M對任意滿足條件的x₁，x₂恒成立，求實數(shù)M的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，可得lnx₁=-lnx₂，進而得到x₁x₂=1，分類討論（x₁-1）（x₂-1）的符號，可得結(jié)論；
（2）不妨令x₂＞1，則x₁+x₂+f（x₁）+f（x₂）=$\frac{1}{{x}_{2}}$+x₂+2lnx₂＞M恒成立，令g（x）=$\frac{1}{x}+x+2lnx$，x＞1，可得答案．

解答 證明：（1）∵函數(shù)f（x）=|lnx|，x₁≠x₂且f（x₁）=f（x₂）．
∴l(xiāng)nx₁=-lnx₂，即lnx₁+lnx₂=ln（x₁•x₂）=0，
即x₁x₂=1，
若x₂＞1，則x₁＜1，則（x₁-1）（x₂-1）＜0，
若x₂＜1，則x₁＞1，則（x₁-1）（x₂-1）＜0，
綜上可得（x₁-1）（x₂-1）＜0；
解：（2）不妨令x₂＞1，
則x₁+x₂+f（x₁）+f（x₂）=$\frac{1}{{x}_{2}}$+x₂+2lnx₂＞M恒成立，
令g（x）=$\frac{1}{x}+x+2lnx$，x＞1，
則g′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+1+$\frac{2}{x}$=$\frac{{x}^{2}+2x-1}{{x}^{2}}$＞0恒成立，
則g（x）在（1，+∞）上恒成立，
由g（1）=2，可得M≤2，
即M的最大值為2．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．