Question

4．設(shè)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是兩個(gè)非零向量，則下列命題為真命題的是
①若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，則|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|；
②若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角60°；
③若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$|，則存在非零實(shí)數(shù)λ，使得$\overrightarrow$=λ$\overrightarrow{a}$；
④若存在非零實(shí)數(shù)λ，使得$\overrightarrow$=λ$\overrightarrow{a}$，則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$；
⑤若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$共線且同向，則|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|．
其中的正確的結(jié)論是③⑤（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．

Answer 1

分析 舉例說(shuō)明①④錯(cuò)誤；由已知求得$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角說(shuō)明②錯(cuò)誤；由向量模的關(guān)系推證③⑤正確．

解答 解：①若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，則|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|錯(cuò)誤，當(dāng)$|\overrightarrow{a}|≠|(zhì)\overrightarrow|$時(shí)不成立；
②若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，則$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$可構(gòu)成等邊三角形，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角30°，故②錯(cuò)誤；
③若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$|，則$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$共線反向，存在非零實(shí)數(shù)λ，使得$\overrightarrow$=λ$\overrightarrow{a}$，故③正確；
④若存在非零實(shí)數(shù)λ，使得$\overrightarrow$=λ$\overrightarrow{a}$，則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$錯(cuò)誤，當(dāng)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$共線同向時(shí)不成立；
⑤若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$共線且同向，則|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos0=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$，故⑤正確．
故答案為：③⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了向量共線的條件，考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，是中檔題．