Question

14．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，對(duì)于n∈N^*有a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{n}+5，{a}_{n}為奇數(shù)}\\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{k}}，{a}_{n}為偶數(shù)}\end{array}\right.$^（其中k為使a_n+1為奇數(shù)的正整數(shù)）．a(chǎn)₁=11時(shí)，a₆₅=31．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)數(shù)列從第三項(xiàng)開始是周期為6的周期數(shù)列，故a₆₅=a_{3+（6×10+2）}=a₅=31．

解答 解：由a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{n}+5，{a}_{n}為奇數(shù)}\\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{k}}，{a}_{n}為偶數(shù)}\end{array}\right.$，且a₁=11，
得a₂=3×11+5=38，${a}_{3}=\frac{38}{2}=19$，a₄=3×19+5=62，${a}_{5}=\frac{62}{2}=31$，
a₆=3×31+5=98，${a}_{7}=\frac{98}{2}=49$，a₈=3×49+5=152，${a}_{9}=\frac{152}{{2}^{3}}=19$，
∴數(shù)列{a_n}從第三項(xiàng)開始是周期為6的周期數(shù)列．
則a₆₅=a_{3+（6×10+2）}=a₅=31．
答案為：31．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，關(guān)鍵是對(duì)數(shù)列周期的發(fā)現(xiàn)，是中檔題．