Question

已知

a

=（

3

sinx，m+cosx），

b

=（cosx，-m+cosx），且f（x）=

a

•

b

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期
（2）當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

3

]時(shí)，f（x）的最小值是-4，求此時(shí)m的值和函數(shù)f（x）的最大值，并求出相應(yīng)的x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出f（x）解析式，然后利用三角恒等變形化簡(jiǎn)解析式為一個(gè)三角函數(shù)名稱一個(gè)角的形式，然后求周期及最值．

解答： 解：（1）f(x)=

3

sinxcosx+cos2x-m2=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

-m²，…（2分）
f（x）=sin(2x+

π

6

)+

1

2

-m2                                  …（5分）
函數(shù)f（x）的最小正周期π．                                  …（7分）
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，…（8分）
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，…（10分）
∴-

1

2

+

1

2

-m2=-4，
∴m=±2，…（12分）
∴f(x)max=1+

1

2

-2=-

1

2

，

此時(shí)2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

．                              …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及三角函數(shù)恒等變形求三角函數(shù)的周期以及最值．