Question

13．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和${S_n}=-{a_n}-{（\frac{1}{2}）^{n-1}}+2（n∈{N^+}）$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令${c_n}=\frac{n+1}{n}{a_n}，{T_n}={c_1}+{c_2}+…+{c_n}$，試比較T_n與$\frac{5n}{2n+1}$的大小，并予以證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）需要分類(lèi)討論：n=1和n≥2兩種情況下的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；當(dāng)n≥2時(shí)，根據(jù)已知條件可以求得${2^n}{a_n}={2^{n-1}}{a_{n-1}}+1$，設(shè)${b_n}={2^n}{a_n}$，則b_n=b_n-1+1，由此推知數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列．結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式不難得到：${a_n}=\frac{n}{2^n}$；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的數(shù)據(jù)和錯(cuò)誤相減法推知T_n的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明．

解答 解：（ I）在${S_n}=-{a_n}-{（\frac{1}{2}）^{n-1}}+2$中，令n=1，可得S₁=a_n-1+2=a₁，即${a_1}=\frac{1}{2}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，${S_{n-1}}=-{a_{n-1}}-{（\frac{1}{2}）^{n-2}}+2$，
∴${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=-{a_n}+{a_{n-1}}+{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，
∴$2{a_n}={a_{n-1}}+{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，即${2^n}{a_n}={2^{n-1}}{a_{n-1}}+1$，
設(shè)${b_n}={2^n}{a_n}$，則b_n=b_n-1+1，即當(dāng)n≥2時(shí)，b_n-b_n-1=1，
又b₁=2a₁=1，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列．
于是b_n=1+n-1=n=2ⁿa_n，
∴${a_n}=\frac{n}{2^n}$
（ II）由（ I）得${c_n}=\frac{n+1}{n}{a_n}=（n+1）{（\frac{1}{2}）^n}$，
所以${T_n}=2×\frac{1}{2}+3×{（\frac{1}{2}）^2}+4×{（\frac{1}{2}）^3}+K+（n+1）{（\frac{1}{2}）^n}$，①
$\frac{1}{2}{T_n}=2×{（\frac{1}{2}）^2}+3×{（\frac{1}{2}）^3}+4×{（\frac{1}{2}）^4}+K+（n+1）{（\frac{1}{2}）^{n+1}}$，②
由①-②得
$\begin{array}{l}\frac{1}{2}{T_n}=1+{（\frac{1}{2}）^2}+{（\frac{1}{2}）^3}+K+{（\frac{1}{2}）^n}-（n+1）{（\frac{1}{2}）^{n+1}}\\=1+\frac{{\frac{1}{4}[{1-{{（\frac{1}{2}）}^{n-1}}}]}}{{1-\frac{1}{2}}}-（n+1）{（\frac{1}{2}）^{n+1}}=\frac{3}{2}-\frac{n+3}{{{2^{n+1}}}}\end{array}$，
∴${T_n}=3-\frac{n+3}{2^n}$，${T_n}-\frac{5n}{2n+1}=3-\frac{n+3}{2^n}-\frac{5n}{2n+1}=\frac{{（n+3）（{2^n}-2n-1）}}{{{2^n}（2n+1）}}$
于是只要比較2ⁿ與2n+1的大小即可，
（1）當(dāng)n=1，2時(shí)，2ⁿ＜2n+1，此時(shí)${T_n}-\frac{5n}{2n+1}＜0$，即${T_n}＜\frac{5n}{2n+1}$，
（2）猜想：當(dāng)n≥3時(shí)，2ⁿ＞2n+1，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=3時(shí)，不等式2ⁿ＞2n+1成立；②假設(shè)n=k≥3時(shí)，不等式成立，即2^k＞2k+1；
則當(dāng)n=k+1時(shí)，2^k+1＞2•2^k＞2（2k+1）=4k+2=2k+（2k+2）≥2k+8＞2（k+1）+1，
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式2ⁿ＞2n+1成立，
由①和②可知，當(dāng)n≥3時(shí)，2ⁿ＞2n+1成立，
于是，當(dāng)n≥3時(shí)，${T_n}-\frac{5n}{2n+1}＞0$，即${T_n}＞\frac{5n}{2n+1}$．
另證：要證2ⁿ＞2n+1（n≥3），只要證：2ⁿ-1＞2n，只要證：1+2¹+2²+L+2^n-1＞2n，
由均值不等式得：$1+{2^1}+{2^2}+…+{2^{n-1}}＞n\root{n}{{1•{2^1}•{2^2}…{2^{n-1}}}}=n•{2^{\frac{n-1}{2}}}≥n•{2^{\frac{3-1}{2}}}=2n$，
所以2ⁿ＞2n+1，于是當(dāng)n≥3時(shí)，${T_n}-\frac{5n}{2n+1}＞0$，即${T_n}＞\frac{5n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和求和之間的關(guān)系，同時(shí)考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的性質(zhì)和定義的運(yùn)用，考查推理能力，屬于難題．