Question

1．在直角坐標(biāo)系中，以原點O為極點，x軸為正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+cost}\\{y=2+sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）過C₁，C₂的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線？
（2）若C₁上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t=π，Q為C₂上的動點，求PQ中點M到直線C₃：ρ（cosθ-2sinθ）=7距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）消去參數(shù)，求出C₁，C₂的普通方程即可；
（2）求出P的坐標(biāo)，設(shè)出Q的坐標(biāo)，表示出M的坐標(biāo)，代入點到直線的距離公式即可．

解答 解：（1）∵C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+cost}\\{y=2+sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴C₁：（x-3）²+（y-2）²=1，
表示以（3，2）為圓心，1為半徑的圓；
∵C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴C₂：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
表示以長軸是8，短軸是6的橢圓；
（2）t=π時，P（2，2），
設(shè)Q（4cosθ，3sinθ），
則M（2cosθ+1，$\frac{3}{2}$sinθ+1），
而C₃：ρ（cosθ-2sinθ）=7，
即：x-2y-7=0，
故M到C₃的距離是：
d=$\frac{|2cosθ+1-3sinθ-2-7|}{\sqrt{5}}$
=$\frac{|\sqrt{13}sin（β-α）-8|}{\sqrt{5}}$
≤$\frac{\sqrt{65}+8\sqrt{5}}{5}$．
（其中sinβ=$\frac{2}{\sqrt{13}}$，cosβ=$\frac{3}{\sqrt{13}}$，
當(dāng)且僅當(dāng)sin（β-α）=-1時“=”成立．

點評 本題考查了求曲線的普通方程，考查點到直線的距離公式以及三角函數(shù)的最值問題，是一道中檔題．