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2.設(shè)F1、F2分別為雙曲線x2a2-y22=1(a>0,b>0)的左、右焦點,若雙曲線的右支上存在一點P,使PF1PF2=0,且△F1PF2的三邊長構(gòu)成等差數(shù)列,則此雙曲線的漸近線方程為y=±26x.

分析 由已知可得,PF1>PF2,PF1⊥PF2,由△F1PF2的三邊長構(gòu)成等差數(shù)列,可得2PF1=F1F2+PF2,結(jié)合雙曲線的定義,PF1=PF2+2a,利用勾股定理可得PF21+PF22=F1F22,代入可求a與c的比值,從而得到a的值,得到該雙曲線的漸近線方程.

解答 解:由P為雙曲線的右支上一點可知,PF1>PF2,
PF1PF2=0,
∴PF1⊥PF2
∴F1F2>PF1>PF2,
由△F1PF2的三邊長構(gòu)成等差數(shù)列,可得2PF1=F1F2+PF2=2c+PF2①,
又由雙曲線的定義可知,PF1-PF2=2a即PF1=PF2+2a②,
①②聯(lián)立可得,PF2=2c-4a,PF1=2c-2a,
PF1PF2=0,
∴PF21+PF22=F1F22,即(2c-4a)2+(2c-2a)2=4c2,
整理可得,c2-6ac+5a2=0,
∵c>a,
∴c=5a,可得:a=c5,b=c2a2=26c5,
a=26,得該雙曲線的漸近線方程為y=±26x.
故答案為:y=±26x.

點評 本題主要考查了雙曲線的定義及性質(zhì)在求解雙曲線方程中的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是確定等差數(shù)列的中間項,屬于中檔題.

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