11.已知橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的焦距為2,離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,y軸上一點Q的坐標(biāo)為(0,3).
(Ⅰ)求該橢圓的方程;
(Ⅱ)若對于直線l:y=x+m,橢圓C上總存在不同的兩點A與B關(guān)于直線l對稱,且3$\overline{QA}$•$\overline{QB}$<32,求實數(shù)m的取值范圍.

分析 (Ⅰ)由題意可知:c=1,e=$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,b=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$,即可求得a和b的值,求得橢圓方程;
(Ⅱ)由題意可知設(shè)直線AB的方程,代入橢圓方程,△>0,求得$-\sqrt{3}<n<\sqrt{3}$,由韋達(dá)定理可知,求得x1+x2,x1•x2,根據(jù)中點坐標(biāo)公式,求得P點坐標(biāo),將P代入直線l的方程,求得向量$\overline{QA}$和$\overline{QB}$,由$\overline{QA}$•$\overline{QB}$-$\frac{32}{3}$=3(3m-1)(m+1)<0,即可求得m的取值范圍.

解答 解:(Ⅰ)由題意知:c=1,
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,即$a=\sqrt{2}$,
b=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1.
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$.…(4分)
(Ⅱ)由題意設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB方程為:y=-x+n.
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=-x+n\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$消y整理可得:3x2-4nx+2n2-2=0,
由△=(-4n)2-12(2n2-2)=24-8n2>0,解得$-\sqrt{3}<n<\sqrt{3}$…(5分)
${x_1}+{x_2}=\frac{4n}{3}$,${x_1}{x_2}=\frac{{2{n^2}-3}}{3}$,
設(shè)直線AB之中點為P(x0,y0),則${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{2n}{3}$,
由點P在直線AB上得:${y_0}=-\frac{2n}{3}+n=\frac{n}{3}$,
又點P在直線l上,$\frac{n}{3}=\frac{2n}{3}+m$,
所以$m=-\frac{n}{3}∈({-\frac{{\sqrt{3}}}{3}\;\;,\;\;\frac{{\sqrt{3}}}{3}})$…①…(8分)
又$\overrightarrow{QA}=({{x_1}\;\;,\;\;{y_1}\;\;,\;\;-3})$,$\overrightarrow{QB}=({{x_2}\;\;,\;\;{y_2}\;\;,\;\;-3})$,
∴$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}-\frac{32}{3}=({{x_1}\;\;,\;\;{y_1}-3})•({{x_2}\;\;,\;\;{y_2}-3})-\frac{32}{3}$,
=${x_1}{x_2}+({{y_1}-3})({{y_2}-3})-\frac{32}{3}$,
=n2-2n-3=9m2+6m-3,
=3(3m-1)(m+1)<0
解得:$-1<m<\frac{1}{3}$…②…(11分)
綜合①②,m的取值范圍為$({-\frac{{\sqrt{3}}}{3}\;\;,\;\;\frac{1}{3}})$.…(12分)

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,韋達(dá)定理,中點坐標(biāo)公式及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,考查計算能力,屬于中檔題.

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