Question

11．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距為2，離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，y軸上一點Q的坐標為（0，3）．
（Ⅰ）求該橢圓的方程；
（Ⅱ）若對于直線l：y=x+m，橢圓C上總存在不同的兩點A與B關(guān)于直線l對稱，且3$\overline{QA}$•$\overline{QB}$＜32，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：c=1，e=$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）由題意可知設(shè)直線AB的方程，代入橢圓方程，△＞0，求得$-\sqrt{3}＜n＜\sqrt{3}$，由韋達定理可知，求得x₁+x₂，x₁•x₂，根據(jù)中點坐標公式，求得P點坐標，將P代入直線l的方程，求得向量$\overline{QA}$和$\overline{QB}$，由$\overline{QA}$•$\overline{QB}$-$\frac{32}{3}$=3（3m-1）（m+1）＜0，即可求得m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意知：c=1，
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即$a=\sqrt{2}$，
b=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1．
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（4分）
（Ⅱ）由題意設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB方程為：y=-x+n．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=-x+n\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$消y整理可得：3x²-4nx+2n²-2=0，
由△=（-4n）²-12（2n²-2）=24-8n²＞0，解得$-\sqrt{3}＜n＜\sqrt{3}$…（5分）
${x_1}+{x_2}=\frac{4n}{3}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{n^2}-3}}{3}$，
設(shè)直線AB之中點為P（x₀，y₀），則${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{2n}{3}$，
由點P在直線AB上得：${y_0}=-\frac{2n}{3}+n=\frac{n}{3}$，
又點P在直線l上，$\frac{n}{3}=\frac{2n}{3}+m$，
所以$m=-\frac{n}{3}∈（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}\;\;，\;\;\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$…①…（8分）
又$\overrightarrow{QA}=（{{x_1}\;\;，\;\;{y_1}\;\;，\;\;-3}）$，$\overrightarrow{QB}=（{{x_2}\;\;，\;\;{y_2}\;\;，\;\;-3}）$，
∴$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}-\frac{32}{3}=（{{x_1}\;\;，\;\;{y_1}-3}）•（{{x_2}\;\;，\;\;{y_2}-3}）-\frac{32}{3}$，
=${x_1}{x_2}+（{{y_1}-3}）（{{y_2}-3}）-\frac{32}{3}$，
=n²-2n-3=9m²+6m-3，
=3（3m-1）（m+1）＜0
解得：$-1＜m＜\frac{1}{3}$…②…（11分）
綜合①②，m的取值范圍為$（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}\;\;，\;\;\frac{1}{3}}）$．…（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達定理，中點坐標公式及向量數(shù)量積的坐標表示，考查計算能力，屬于中檔題．