Question

2．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且$\frac{2a-c}$=$\frac{cosC}{cosB}$．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若點M為BC的中點，且求AM=AC，求$\frac{sinC}{sinA}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知化簡，利用正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式可得：2sinAcosB=sinA，由于sinA≠0，可求cosB，結合B的范圍即可得解B的值．
（Ⅱ）由AM=AC，利用余弦定理得$\frac{1}{4}{a^2}+{c^2}-2ac={a^2}+{c^2}-ac⇒\frac{c}{a}=\frac{3}{2}$，結合正弦定理即可得解$\frac{sinC}{sinA}$的值．

解答 （本題滿分為10分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，∵$\frac{2a-c}=\frac{cosC}{cosB}$，
∴2acosB=ccosB+bcosC，利用正弦定理可得：2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴$cosB=\frac{1}{2}$．…（3分）
∵0＜B＜π，
∴$B=\frac{π}{3}$．…（5分）．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得：AC²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac，
在△ABM中，由余弦定理得$A{M^2}=\frac{1}{4}{a^2}+{c^2}-2\frac{a}{2}•c•cosB=\frac{1}{4}{a^2}+{c^2}-\frac{1}{2}ac$．…（7分）
∵AM=AC，
∴$\frac{1}{4}{a^2}+{c^2}-2ac={a^2}+{c^2}-ac⇒\frac{c}{a}=\frac{3}{2}$．
∴由正弦定理得$\frac{sinC}{sinA}=\frac{c}{a}=\frac{3}{2}$．…（10分）

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．