已知奇函數(shù)f(x)=a-
b
2x+1
的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a,b的值;
(Ⅱ)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并給出證明.
考點(diǎn):函數(shù)奇偶性的性質(zhì),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:本題(Ⅰ)可以先根據(jù)函數(shù)f(x)是奇函數(shù),通過(guò)特殊值法得到關(guān)于a、b的方程,從而求出ab的值,再驗(yàn)證函數(shù)f(x)是奇函數(shù);(Ⅱ)直接用定義法判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
解答: 解:(Ⅰ)∵奇函數(shù)f(x)=a-
b
2x+1
的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1),
∴f(0)=0,
f(1)=1,
a-
b
2
=0
,
a-
b
3
=1
,
∴a=3,b=6.
∴f(x)=3-
6
2x+1

∴f(-x)=3-
6
2-x+1
=3-
2x
1+2x
=-3+
6
2x+1
=-f(x).
函數(shù)f(x)是奇函數(shù),適合題意,
∴a=3,b=6.
(Ⅱ)函數(shù)f(x)在定義域R上是單調(diào)遞增的函數(shù).
證明:在R上任取x1,x2,且x1<x2,
f(x2)-f(x1)=(3-
6
2x2+1
)-(3-
6
2x1+1

=
6(2x2-2x1)
(2x1+1)(2x2+1)
,
∵x1<x2
∴2 x2-2x1>0,
2x1+1>0
2x2+1>0,
∴f(x2)-f(x1)>0,
∴f(x2)>f(x1).
∴函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù).
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用和函數(shù)單調(diào)性的定義,本題難度不大,但是要注意在解題過(guò)程中邏輯的嚴(yán)密性,本題屬于中檔題.
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“1<m<2”是“方程
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y2
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