Question

3．已知a，b是實(shí)數(shù)，且函數(shù)f（x）=x+a|x-1|在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，1]．

Answer 1

分析 通過(guò)去絕對(duì)值符號(hào)，利用函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)存在最小值可知，當(dāng)0＜x＜1時(shí)f（x）單調(diào)遞減、當(dāng)x＞1時(shí)f（x）單調(diào)遞增，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=x+a|x-1|，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（1-a）x+a，}&{x＜1}\\{（1+a）x-a，}&{x≥1}\end{array}\right.$，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)存在最小值，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞1時(shí)f（x）單調(diào)遞增，
∴1-a≤0，1+a≥0，
綜上所述，-1≤a≤1，
故答案為：[-1，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．