14．求函數(shù)f（x）=$\frac{1}{1-{x}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$（0＜x＜1）的最小值．

分析 通分得到$f（x）=\frac{1}{（1-{x}^{2}）{x}^{2}}$，而由0＜x＜1即得出1-x2＞0，x2＞0，從而由基本不等式便可得出（1-x2）x2的范圍，進而便可得出f（x）的范圍，從而得出f（x）的最小值．

解答 解：$f（x）=\frac{1}{1-{x}^{2}}+\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{（1-{x}^{2}）{x}^{2}}$；
∵0＜x＜1；
∴1-x2＞0；
∴$（1-{x}^{2}）{x}^{2}≤（\frac{1-{x}^{2}+{x}^{2}}{2}）^{2}=\frac{1}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)1-x2=x2，即$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$時取“=”；
∴$\frac{1}{（1-{x}^{2}）{x}^{2}}≥4$；
∴f（x）的最小值為4．

點評 考查函數(shù)最值的定義及求法，以及基本不等式的應(yīng)用，注意應(yīng)用基本不等式所具備的條件，以及判斷等號能否取到，以及不等式的性質(zhì)．

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5．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax2+1的圖象在點（1，f（1））處切線的斜率為3．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）證明：存在正實數(shù)λ，使得|$\frac{1-x}{f（x）-lnx}$|≤λ恒成立．

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A．g（x）的最大值為2B．g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上是增函數(shù)
C．函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{3}$對稱D．函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點（$\frac{π}{12}$，0）對稱

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19．已知x＞$\frac{5}{4}$，函數(shù)y=x+$\frac{1}{4x-5}$的最小值為$\frac{9}{4}$．

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（1）解不等式f（x）＞0．
（2）若f（x）在x∈[-3，1）上恒有f（x）≥-3成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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3．已知a，b是實數(shù)，且函數(shù)f（x）=x+a|x-1|在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是[-1，1]．

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4．在[0，π]內(nèi)任意取一個數(shù)x，使得sinx+$\sqrt{3}$cosx≥1的概率是（　�。�
A．$\frac{1}{2}$B．$\frac{1}{3}$C．$\frac{1}{4}$D．$\frac{2}{3}$

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