Question

15．已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+cos2x
（1）將f（x）化簡(jiǎn)成f（x）=Asin（ωx+φ）+k的形式，并求f（x）最小正周期；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用平方和公式，二倍角的正弦函數(shù)公式，兩角和的正弦函數(shù)公式即可化簡(jiǎn)為f（x）=Asin（ωx+φ）+k的形式，利用周期公式即可得解f（x）最小正周期；
（2）由已知可求$2x+\frac{π}{4}∈[{\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}}]\end{array}$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

解答 （本小題滿分9分）
解：（1）∵$f（x）=1+sin2x+cos2x=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+1$，
∴f（x）的最小正周期為$T=\frac{2π}{2}=π$；
（2）$\begin{array}{l}∵x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
∴$2x+\frac{π}{4}∈[{\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}}]\end{array}$，
∴sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴$f{（x）_{max}}=\sqrt{2}+1，f{（x）_{min}}=0$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)周期公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．